Soit à résoudre dans l'ensemble Q (l'ensemble des nombres rationnels) l'équation suivante :
9(x - 1) = 4x2(x - 1)
La technique la plus simple est de penser à factoriser l'expression obtenue en rassemblant tous les termes du côté gauche de l'égalité; l'équation devient donc:
9(x - 1) - 4x2(x - 1) = 0
Posons f(x) = 9(x - 1) - 4x2(x - 1) alors l'équation devient f(x) = 0
1er cas : factorisons f(x)
f(x) = 9(x - 1) - 4x2(x - 1)
On identifie aisément un facteur commun qui est (x - 1), par conséquent
f(x) = (x - 1)(9 - 4x2)
A l'aide de l'identité remarquable a2 - b2 = (a + b)(a - b), le terme 9 - 4x2 peut s'écrire:
9 - 4x2 = 32 - (2x)2 =(3 - 2x)(3 + 2x)
De là, nous déduisons donc que :
f(x) = (x - 1)(3 - 2x)(3 + 2x)
2ème cas : Résolvons f(x) = 0, alors :
(x - 1)(3 - 2x)(3 + 2x) = 0
Le produit des facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul c'est-à-dire :
x - 1 = 0 ou 3 - 2x = 0 ou 3 + 2x = 0
x = 1 ou -2x = -3 ou 2x = -3
x = 1 ou x = -3/-2 ou x = -3/2
x = 1 ou x = 3/2 ou x = -3/2
Soit SQ l'ensemble des solutions dans Q
SQ = { 1, 3/2, -3/2 }
