Soit à résoudre dans l'ensemble Q (l'ensemble des nombres rationnels) l'équation suivante :

 (x2 + 2x + 1) - (x2 - 1) = (2x + 2)(x + 3)

La technique la plus simple est de penser à factoriser l'expression obtenue en rassemblant tous les termes du côté gauche de l'égalité; l'équation devient donc:

(x2 + 2x + 1) - (x2 - 1) - (2x + 2)(x + 3) = 0

Posons f(x) =  ( x2 + 2x + 1) - (x2 - 1) - (2x + 2)(x + 3) alors l'équation devient f(x) = 0

1er cas : factorisons f(x)

f(x) = (x2 + 2x + 1) - (x2 - 1 ) - (2x + 2)(x + 3)

Ici, on va prendre chaque produit de facteurs et le factoriser séparément jusqu'à obtenir un facteur commun pour toute l'expression :

(x2 + 2x + 1) = (x + 1)2 ( A l'aide de l'identité remarquable a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 )

(x2 - 1) = (x + 1)(x - 1) (A l'aide de l'identité remarquable a2 - b2 = (a + b)(a - b) )

(2x + 2)(x + 3) = 2(x + 1)(x + 3)

L'expression f(x) devient donc :

f(x) =  (x + 1)2  - (x + 1)(x - 1) - 2(x + 1)(x + 3)

f(x) = (x + 1)[(x + 1) - (x - 1) - 2(x + 3)]

f(x) = (x + 1)(x + 1 - x + 1 - 2x - 6)

f(x) = (x + 1)(- 2x - 1)

2ème cas : Résolvons f(x) = 0, alors :

(x + 1)(- 2x - 4) = 0

Le produit des facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul c'est-à-dire :

(x + 1) = 0 ou (- 2x - 4) = 0

x + 1 = 0 ou - 2x - 4 = 0

x = -1 ou x = -2

Soit S_Q l'ensemble des solutions dans Q

SQ = { -1, -2 }